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天天觀天下!驗證性因子分析是什么意思?什么數(shù)據(jù)適合因子分析?
2022-07-01 09:34:14 來源:環(huán)球信息網(wǎng) 編輯:

驗證性因子分析(什么數(shù)據(jù)適合因子分析)創(chuàng)2021-06-09 11:07·Codewar

快一個月沒更新文章啦,今天收到好幾個粉絲的催更私信,好的吧,實在對不住大家期待的眼神,看樣子不能再拖啦,想想寫啥好呢,大家咨詢比較多的,混合模型算一個,今天就繼續(xù)給大家寫寫混合模型如何做吧。


(資料圖)

混合模型一般都可以用lme4這個包解決,lme4既可以做線性混合模型,也可以做廣義線性混合模型還可以做非線性混合模型,大家有需要可以只研究這一個包就行。

所謂混合模型就是既有固定效應(yīng)又有隨機(jī)效應(yīng)的模型:

“mixedeffects”, denotes a model that incorporates both fixed- and random-effects terms in a linear predictor expression from which the conditional mean of the response can be evaluated

第一部分 線性混合模型

直接上例子,數(shù)據(jù)是來自一篇研究睡眠剝奪的文獻(xiàn),整個數(shù)據(jù)大概長下圖這樣,其中我們的受試者在day0的時候可以睡到自然醒,在之后的日子里所有的受試者就只能睡3個小時了,我們的響應(yīng)變量是Reaction,就是對受試者做的測驗的響應(yīng)時間,我現(xiàn)在關(guān)心睡眠剝奪后,響應(yīng)時間的變化情況:

對于這么一個縱向數(shù)據(jù),

我們來捋一捋:我們只有18個人受試者,每個受試者隨訪10次,我們需要明白的是,此時我們的每一次測量是嵌套在人的水平上的,我們可以認(rèn)為,不同人自己的10次測量是有強(qiáng)烈的相關(guān)性的,而不同人之間的這種關(guān)系又不一定是相同的。

直觀一點,我們可以畫出來每一天所有人響應(yīng)時間和睡眠剝奪的變化,畫出來就是下圖:

可以看到我們上面的這個大圖是由很多個小圖組成的,每一個小圖中橫軸就是睡眠剝奪的時間,縱軸是反應(yīng)時間。每個小圖就代表著我們要研究的睡眠剝奪和反應(yīng)時間的關(guān)系(具體到人),但是我們也應(yīng)該注意到這種關(guān)系在不同的人上是不同的,體現(xiàn)在:關(guān)系的斜率不同和截距不同。(這個關(guān)系的不同可以很明顯的在圖中看出來)

所以我們就可以擬合一個帶有隨機(jī)效應(yīng)的混合模型:

fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject),sleepstudy)

運(yùn)行代碼后得到下面的結(jié)果:

結(jié)果中有隨機(jī)效應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差和固定效應(yīng)的β估計,我得到的截距是251.4,斜率是10.5,這兩個系數(shù)就是我們研究的總體關(guān)系的表示,通常需要在文獻(xiàn)中匯報,就意味著睡眠不剝奪的時候人的反應(yīng)時間是251.4,而睡眠每剝奪多一天反應(yīng)時間增長10.5。

上面這個是最簡單的混合模型。我們繼續(xù)看:

lme4包高水平設(shè)置介紹

混合模型公式

對于一個常見的混合模型,我們可以在lme4包中寫出來如下差不多的混合模型公式:

resp~FEexpr+(REexpr1|factor1)+(REexpr2|factor2)+...

這個公式中FEexpr就是固定效應(yīng),(REexpr1 | factor1)and(REexpr2 | factor2)都是隨機(jī)效應(yīng),理論上你可以弄很多個隨機(jī)效應(yīng)但是實際操作中我們不會關(guān)心那么多。

理解混合模型公式

我們看到每一個隨機(jī)效應(yīng)在公式中的表達(dá)都是(expr | factor)這樣的。豎杠前面的expr就是一個常規(guī)的回歸公式,豎杠后面的factor就是一個常規(guī)的因子,你可以把豎杠想象成回歸公式和因子的交互:

One way to think about the vertical bar operator is as a special kind of interaction betweenthe model matrix and the grouping factor。This interaction ensures that the columns of themodel matrix have different effects for each level of the grouping factor.

這種交互的意思就是在因子的不同水平,我們的回歸是不一樣的,這也正好和我們前面的解釋相對應(yīng),就是在不同的人的水平睡眠剝奪和響應(yīng)時間的關(guān)系不一樣。

寫到這,希望大家能記住下面這張表:

這個表就給我們展示了常見的隨機(jī)效應(yīng)的設(shè)置,比如(1 | g),就是說在因子g的不同水平,我們響應(yīng)變量的截距都不一樣。表中的第二行有個offset,表示沒有固定效應(yīng)。如果我們的數(shù)據(jù)是一個三層嵌套數(shù)據(jù),我們可以用第三行的設(shè)定來表示隨機(jī)截距;如果你的數(shù)據(jù)沒有直接嵌套但是在g1和g2的不同水平上存在相關(guān),那么可以用第四行的設(shè)定,這個在項目反應(yīng)理論中比較常見。

在lme4中,默認(rèn)認(rèn)為同一個模型的截距和斜率是存在相關(guān)的,如果你確定截距和斜率無關(guān)那么設(shè)定隨機(jī)效應(yīng)的時候就可以用兩個豎杠,或者把截距和斜率分開來寫,就是說(x || g)和x +(1 | g) + (0 + x | g)表達(dá)的隨機(jī)效應(yīng)都是一樣的。

比如如果我認(rèn)為睡眠剝奪和反應(yīng)時間隨機(jī)效應(yīng)的截距和斜率無關(guān),我便可以做如下設(shè)定:

fm2<-lmer(Reaction~Days+(Days||Subject),sleepstudy)#截距和斜率無關(guān)的設(shè)定

有時候我們擬合一個后又想嘗試對模型進(jìn)行改變,但又不想重寫,此時就可以直接對相似的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行更新:

模型的更新

比如我想在fm1的基礎(chǔ)上去掉隨機(jī)斜率只留隨機(jī)截距,我就可以用updata寫出如下代碼:

fm3<-update(fm1,.~.-(Days|Subject)+(1|Subject))#模型的更新

到底哪一個模型更好呢?

可以用anova方法進(jìn)行模型間的比較:

anova(fm1,fm2,fm3)

運(yùn)行代碼會輸出比較的結(jié)果:

其中,從模型比較的結(jié)果可以看出,給模型增加一個截距和斜率無關(guān)的隨機(jī)效應(yīng)相比會使得模型的deviance變小,進(jìn)一步將隨機(jī)效應(yīng)設(shè)定為相關(guān),并不能夠顯著地減小deviance,從而我們就可以知道fm2才是對數(shù)據(jù)擬合最好的模型。

第二部分 非線性混合模型

非線性混合模型就是通過一個連接函數(shù)將線性模型進(jìn)行拓展,并且同時再考慮隨機(jī)效應(yīng)的模型。

The fixed-effects parameters describe the general patterns of the data and random-effects parameters describe specific clusters. If the model is nonlinear in the parameters,it is called a nonlinear mixed-effects model (Davidian &Giltinan, 2003)

非線性混合模型常常在生物制藥領(lǐng)域的分析中會用到,因為很多劑量反應(yīng)并不是線性的,如果這個時候數(shù)據(jù)再有嵌套結(jié)構(gòu),那么就需要考慮非線性混合模型了。

看下面這個圖,這個圖描繪了不同人用了茶堿過后的反應(yīng),時間是橫軸,殘留是縱軸,和開篇線性模型中睡眠剝奪和反應(yīng)時間的例子一樣,我們把每個人的關(guān)系都做了圖出來,不過從圖中可以明顯看出這種關(guān)系并不是簡單線性的。

其實這種不是線性的關(guān)系存在的情況很多。

比如漸進(jìn)回歸:

再比如邏輯增長:

此時我們要注意到像這兩非線性關(guān)系模型的參數(shù)都不是簡單的一個斜率加個截距了。都有φ1,φ2,φ3三個額外參數(shù)。

這兒先給大家寫一個邏輯增長的實際例子:我現(xiàn)在有一個關(guān)于樹木周徑的數(shù)據(jù)集,每棵樹隨訪了7次,每次隨訪記錄數(shù)的年齡age,和周徑,我現(xiàn)在想研究在所有樹木中時間和周徑的關(guān)系。

很自然,我們可以想到不同的樹這個關(guān)系應(yīng)該是不一樣的,我們想探求的一定是考慮了樹水平的變異之后的總體關(guān)系,所以不妨先畫出來每個樹的關(guān)系:

從圖中可以看到我們總共有5棵樹,基本關(guān)系是一致的,但存在些許變異相關(guān)(所以考慮混合模型),而且這個關(guān)系并不是線性的(時間越大周徑基本不改變了),所以我們應(yīng)該考慮非線性的混合模型。

具體地,我們可以用nlmer方法來擬合非線性混合模型,方法參數(shù)包括3部分:首先是響應(yīng)變量,然后是非線性函數(shù),然后是混合效應(yīng)公式:

The formula argument fornlmeris in three parts: the response, the nonlinear model function depending on covariates and a set of nonlinear model (nm) parameters, and the mixed-effects formula.

比如對我們的數(shù)據(jù)我就可以寫出如下SSlogis方法的代碼:

print(nm1<-nlmer(circumference~SSlogis(age,Asym,xmid,scal)~Asym|Tree,Orange,start=c(Asym=200,xmid=770,scal=120)),corr=FALSE)

此時我們選擇的非線性函數(shù)是邏輯增長函數(shù)SSlogis,剛剛給大家解釋了這個函數(shù)是有3個參數(shù)的,在上面的代碼中,age是我們的預(yù)測變量,Asym, xmid, scal分別是額外的三個參數(shù)(之前的邏輯增長的式子和Asym/(1+exp((xmid-input)/scal))等同):

進(jìn)一步,擬合邏輯增長是要我們給出這些參數(shù)的初始值的,然后從初始值通過梯度下降尋找各個參數(shù)的最優(yōu)解:

SSlogis has an attribute called "initial", which is a function that nls can call to compute reasonable starting values for fitting a logistic function to the input data.

所以我們看到代碼中都給出了響應(yīng)參數(shù)的初始值。

運(yùn)行上面代碼后輸出如下結(jié)果:

我們可以看到結(jié)果中的固定效應(yīng)里面有Asym,Xmid,scal參數(shù)的估計結(jié)果。

那么這些參數(shù)如何解釋呢?

留個懸念我們下期再更。關(guān)注關(guān)注關(guān)注,嘿嘿。

小結(jié)

很久沒更新了,今天給大家寫了如何用lme4做混合模型,包括線性和非線性的例子,感謝大家耐心看完,自己的文章都寫的很細(xì),代碼都在原文中,希望大家都可以自己做一做,請關(guān)注后私信回復(fù)“數(shù)據(jù)鏈接”獲取所有數(shù)據(jù)和本人收集的學(xué)習(xí)資料。如果對您有用請先收藏,再點贊轉(zhuǎn)發(fā)。

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